• USD 41.3
  • EUR 45
  • GBP 53.4
Спецпроєкти

Заразна математика. Що спільного у вакцин і спаму

Навіщо потрібен "груповий імунітет"
Реклама на dsnews.ua

Вакцинація - питання не тільки медичний, але і математичний. Адже необхідно обчислити, скільки людей в популяції потрібно вакцинувати, щоб утворився колективний імунітет.

Першу математичну модель розповсюдження епідемій і впливу щеплень створив Данило Бернуллі в XVIII столітті. Сеголня епідеміологи спираються на моделі, сформульовані в 1927-му двома шотландськими вченими - Андерсоном Маккендриком і Вільямом Кермаком. Обидва вони цікавилися математикою, хоча Маккендрік був лікарем, а Кермак - біохіміком. Останній, до речі, всі математичні обчислення проводив в пам'яті, тому що в результаті нещасного випадку повністю осліп.

У спрощеному вигляді розрахунки вчених базувалися на наступних міркуваннях. Кожен хворий до моменту остаточного одужання (або смерті) заражає в середньому двох здорових осіб. Число заражених подвоюється з кожним кроком: двоє заражених перетворюються в чотирьох, четверо - до вісьмох, і так далі.
Математики кажуть, що кількість заражених зростає по експоненті, де 2 - ступінь n, а n - число людей, інфікованих і розповсюджує мікроби.

Поширення хвороби нагадує поширення "ланцюга святого Антонія" або дублювання спаму в Інтернеті. Вже на 20-му етапі кількість заражених людей перевищить один мільйон чоловік. Однак насправді цього не станеться. Справа в тому, що рано чи пізно в осередку захворювання виявляться тільки заражені (або отримали імунітет), так що заражати буде просто нікого. Епідемія втратить імпульс.

Точне розвиток епідемії з плином часу можна записати у вигляді нелінійних диференціальних рівнянь (що і зробили Маккендрік і Кермак), однак вирішити їх на папері неможливо - необхідно застосовувати чисельні методи. Втім, і без допомоги комп'ютера очевидно, що для припинення епідемії необхідно зменшити кількість нових заражень. Зробити це можна двома способами: обмеживши контакт хворих людей зі здоровими (наприклад, шляхом введення карантину) або швидко зціливши хворих, щоб у них не було часу заразити інших.

Реклама на dsnews.ua

Обидва цих методу важко реалізувати, вони дорогі, так і ліки, швидко ставлять людину на ноги, є далеко не від усіх хвороб. Однак у випадку з багатьма інфекційними захворюваннями є ще один інструмент - вакцинація.

Щеплення - самий дешевий і ефективний спосіб боротьби з інфекційними захворюваннями. Саме завдяки їм у суспільстві великий відсоток людей, стійких до збудників багатьох хвороб. До того ж, якщо хтось і заразиться, то коло тих, хто може стати наступними жертвами хвороби, досить невеликий. А це означає, що поширення хвороби вдасться уникнути і шанси залишитися неінфікованими у людей, які з якихось причин не вакциновані, дуже високі.

Так що щеплення не лише імунізують окремих людей, але і захищають все населення, що ускладнює появу епідемії. Це називається груповим імунітетом.
Все залежить від так званого індексу відтворення. Для кожного захворювання і навіть регіону він може бути іншим. Він означає середнє число осіб, яких може інфікувати хворий. У розрахунках, наведених на початку тексту, цей коефіцієнт дорівнював двом.

У кожному випадку, коли індекс більше одиниці, виникає загроза епідемії. Щоб не було експоненціального збільшення захворюваності середнє число людей, яких здатний інфікувати хворий, повинно бути менш одного. У цьому випадку хвороба природним чином вщухне.

Якщо ми маємо справу із захворюванням, для якого цей індекс дорівнює двом, то слід вакцинувати як мінімум кожної другої людини, тобто більше 50% популяції. Тоді середня кількість нових заражень, які припадають на одну людину, опуститься нижче одного. Середньостатистичний хворий, який в звичайних умовах заразив б двох осіб, в середньому інфікує менше одного, оскільки половина людей, з якими він стикається, мають імунітет завдяки вакцинації. А значить, епідемія не вибухне.

Під час епідемії холери на Гаїті в 2010-му індекс був меншим, ніж два, тому вакцинація навіть невеликої кількості жителів острова дозволила взяти епідемічну ситуацію під контроль.

Однак для багатьох хвороб, цей показник значно вище, наприклад, у разі вітряної віспи він досягає 10. Тобто один хворий у середньому інфікує 10 здорових осіб, а це означає, що для групового імунітету потрібно прищепити як мінімум 9 з 10 чоловік, або понад 90% популяції. Для кору індекс відтворення ще вище, тому поріг безпеки становить 95%. Для коклюшу його оцінюють в 92-94%, дифтерії та краснухи - у 83-86%, а свинки - 75-86%.

Тож епідеміологи так стурбовані зниженням рівня вакцинації в Європі і, зокрема, в Україні. Так, в цьому році в нашій країні трапилася спалах кору: тільки за півроку 2018-го в Україні захворіли на кір 23 тис людей - в шість раз більше осіб, ніж у минулому році (4767).

За матеріалами Gazeta Wyborcza

    Реклама на dsnews.ua